2 / 3 · 12. klass

Kõrgus siseringjoone keskpunktis

h = r tan α

S_{k} = \frac{S _{p}}{cos α}

m = \frac{r}{cos α}

Valemid kehtivad, kui kõik külgtahud moodustavad põhitahuga võrdse nurga

α

r

on põhitahu siseringjoone raadius ja

m

on külgtahu kõrgus.

Püramiidi kõrgus langeb põhitahu siseringjoone keskpunkti siis ja ainult siis, kui kõik külgtahud on põhitahuga võrdse nurga all. Tõmmatakse külgtahu kõrgus

m

tipust põhitahu servani; kõrguse jalast sama servani viiv lõik on servaga risti ja need kaks lõiku koos püramiidi kõrgusega moodustavad täisnurkse kolmnurga, mille teravnurk ongi külgtahu ja põhitahu vaheline nurk

α

. Kõigil neil kolmnurkadel on kaatet

h

ühine, seega on nurgad võrdsed parajasti siis, kui kõrguse jalg on kõigist põhitahu külgedest ühekaugusel. See punkt on siseringjoone keskpunkt, sest siseringjoon puutub kõiki külgi ja

r

on ühine kaugus keskpunktist iga küljeni. Samast täisnurksest kolmnurgast järeldub ka see, et kõigi külgtahkude kõrgused on omavahel võrdsed.

Millal kasutada? Valemeid kasutatakse siis, kui ülesandes on öeldud, et kõik külgtahud on põhitahuga võrdse nurga all, ning otsitakse püramiidi kõrgust või külgtahu kõrgust.

Näide

Püramiidi põhi on kolmnurk külgedega 9 cm, 12 cm ja 15 cm ning kõik külgtahud moodustavad põhitahuga 6 0^{\circ} nurga. Leia külgtahu kõrgus ja püramiidi kõrgus. Kuna 9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}, on põhikolmnurk täisnurkne ja selle pindala leitakse kaatetite kaudu: S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 cm^{2} Seejärel leitakse poolümbermõõt: p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18 cm Siseringjoone raadius leitakse pindala ja poolümbermõõdu kaudu: r = \frac{54}{18} = 3 cm Külgtahud on põhitahuga võrdse nurga all, seega langeb kõrgus siseringjoone keskpunkti ja raadius r on täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga α juures: m = \frac{3}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{3}{0 , 5} = 6 cm h = 3 \cdot tan 6 0^{\circ} = 33 cm Külgtahu kõrgus on 6 cm ja püramiidi kõrgus on 33 cm ehk ligikaudu 5, 2 cm .

Levinud viga

Tahkude võrdsetest nurkadest järeldatakse, et ka külgservad on võrdsed, ja kasutatakse ümberringjoone raadiust. Võrdsed nurgad annavad külgtahkude võrdsed kõrgused ja kõrguse jala siseringjoone keskpunkti; võrdsed külgservad on hoopis teine juht ja siis langeb kõrgus ümberringjoone keskpunkti.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta