1 / 3 · 12. klass

Kõrgus ümberringjoone keskpunktis

h = k^{2} - R^{2}

h = R tan β

Valem kehtib, kui püramiidi kõik külgservad on võrdsed,

k

on külgserva pikkus,

R

on põhitahu ümberringjoone raadius ja

β

on külgserva ja põhitasandi vaheline nurk.

Püramiidi kõrgus langeb põhitahu ümberringjoone keskpunkti siis ja ainult siis, kui kõik külgservad on võrdsed. Punkti, kuhu kõrgus põhitahul langeb, nimetatakse kõrguse jalaks. Iga külgserv on hüpotenuus täisnurkses kolmnurgas, mille üks kaatet on püramiidi kõrgus ja teine kaatet on kõrguse jala kaugus vastavast põhitahu tipust. Kõigil neil kolmnurkadel on kaatet

h

ühine, seega on külgservad võrdsed parajasti siis, kui kõrguse jalg on kõigist põhitahu tippudest ühekaugusel. Just see punkt ongi ümberringjoone keskpunkt, sest ümberringjoon läbib kõiki tippe ja

R

on ühine kaugus keskpunktist iga tipuni.

Millal kasutada? Valemit kasutatakse siis, kui ülesandes on öeldud, et püramiidi külgservad on võrdsed või et kõik külgservad moodustavad põhitahuga võrdse nurga, ning otsitakse püramiidi kõrgust.

Näide

Püramiidi põhi on täisnurkne kolmnurk kaatetitega 6 cm ja 8 cm . Kõik külgservad on 13 cm . Leia püramiidi kõrgus. Kõigepealt leitakse põhikolmnurga hüpotenuus Pythagorase teoreemi abil: c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 10 cm Külgservad on võrdsed, seega langeb kõrgus põhitahu ümberringjoone keskpunkti. Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on hüpotenuusi keskpunkt, seega raadius on pool hüpotenuusi: R = \frac{10}{2} = 5 cm Külgserv, kõrgus ja raadius moodustavad täisnurkse kolmnurga, milles külgserv on hüpotenuus: h = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 cm Püramiidi kõrgus on 12 cm .

Levinud viga

Eeldatakse, et kõrgus langeb alati põhitahu keskele. Kõrgus langeb ümberringjoone keskpunkti, mis võib asuda ka põhitahu küljel või jääda sellest hoopis välja: täisnurkse kolmnurga korral on see hüpotenuusi keskpunkt ja nürinurkse kolmnurga korral jääb see kolmnurgast välja.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta