Apoteem ja ümberringjoone raadius

Valemid kehtivad, kui hulknurk on korrapärane, $n$ on külgede arv, $a$ on külje pikkus, $R$ on ümberringjoone raadius ja $r$ on siseringjoone raadius ehk apoteem.

Igale korrapärasele hulknurgale saab joonestada nii ümberringjoone, mis läbib kõiki tippe, kui ka siseringjoone, mis puutub kõiki külgi; mõlemal on sama keskpunkt. Keskpunktist külje keskpunktini tõmmatud lõiku nimetatakse apoteemiks ja see on küljega risti. Kui ühendada keskpunkt kahe naabertipuga, tekib võrdhaarne kolmnurk haaradega $R$ ja tipunurgaga $\frac{360^{\circ }}{n}$. Apoteem on selle kolmnurga kõrgus, mis poolitab nii tipunurga kui ka aluse, nii et tekib täisnurkne kolmnurk hüpotenuusiga $R$, teravnurgaga $\frac{180^{\circ }}{n}$, vastaskaatetiga $\frac{a}{2}$ ja lähiskaatetiga $r$. Sealt saadaksegi mõlemad valemid teravnurga siinuse ja koosinuse abil. Kuusnurga korral on $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$, mistõttu kolmnurk on võrdkülgne ja külg võrdub raadiusega $R$.

Millal kasutada? Valemeid kasutatakse siis, kui korrapärase hulknurga kohta on teada üks suurustest $a$, $r$ või $R$ ja otsitakse teist, näiteks pindala või ümbermõõdu arvutamiseks.