2 / 3 · 12. klass

Risttahuka ruumidiagonaal

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Valem kehtib, kui

a

b

c

on risttahuka mõõtmed ning

d

on ruumidiagonaal ehk lõik, mis ühendab läbi keha kaht vastastippu.

Valem saadakse Pythagorase teoreemi kahekordsel rakendamisel. Kõigepealt on põhja diagonaal täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, mille kaatetid on

a

b

, seega selle ruut on

a^{2} + b^{2}

. Seejärel moodustavad põhja diagonaal ja külgserv

c

uue täisnurkse kolmnurga, mille hüpotenuus ongi ruumidiagonaal. Joonisel värvitud diagonaallõige on just see ristkülik, milles ruumidiagonaal asub.

Millal kasutada? Valemit kasutatakse siis, kui risttahuka kolm mõõdet on teada ja otsitakse pikimat lõiku keha sees, näiteks kui pikk varras mahub karpi. Samast valemist saab avaldada ka ühe mõõtme, kui diagonaal ja kaks ülejäänud mõõdet on teada.

Näide

Risttahuka mõõtmed on 3 cm, 4 cm ja 12 cm . Leia ruumidiagonaal. Kõigepealt leitakse põhja diagonaal d_{p} täisnurksest kolmnurgast, mille kaatetid on põhja küljed 3 cm ja 4 cm : d_{p} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5 cm Nüüd on põhja diagonaal ja kõrgus täisnurkse kolmnurga kaatetid ning ruumidiagonaal on selle hüpotenuus: d = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13 cm Sama tulemuse annab valem ühe tehtega: d = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13 cm Risttahuka ruumidiagonaal on 13 cm .

Levinud viga

Vastuseks antakse põhja diagonaal, antud juhul 5 cm . Põhja diagonaal jääb tervenisti ühte tahku, ruumidiagonaal aga läbib keha ja on alati pikem — ruutjuure alla peavad jääma kõik kolm mõõdet.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta