3 / 3 · 12. klass

Korrapärane kolmnurkne püramiid

r = \frac{a 3}{6}

m^{2} = h^{2} + r^{2}

Valemid kehtivad korrapärase kolmnurkse püramiidi korral, kus

a

on põhiserv,

r

on kaugus põhitahu keskpunktist põhiservani,

h

on püramiidi kõrgus ja

m

on apoteem.

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhitahk on korrapärane kolmnurk ja kõrguse jalg langeb selle keskpunkti

O

, mis on ühtaegu nii siseringjoone kui ka ümberringjoone keskpunkt. See punkt jagab korrapärase kolmnurga kõrguse

\frac{a 3}{2}

suhtes

2 : 1

, seega on kaugus keskpunktist põhiservani kolmandik sellest ehk

r = \frac{a 3}{6}

ja põhitahu tipuni kaks kolmandikku ehk

R = \frac{a 3}{3}

. Lõik

r

on põhiservaga risti, nii et

h

r

m

moodustavad täisnurkse kolmnurga; külgserva leidmiseks võetakse sama kolmnurga asemel see, mille kaatetid on

h

R

. Põhitahu pindala leitakse korrapärase kolmnurga pindala valemiga.

Millal kasutada? Seoseid kasutatakse siis, kui korrapärases kolmnurkses püramiidis on teada põhiserv koos kõrguse või apoteemiga ja otsitakse ülejäänud mõõtmeid või pindala.

Näide

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv on 24 cm ja kõrgus on 11 cm . Leia apoteem ja külgpindala. Kõigepealt leitakse kaugus põhitahu keskpunktist põhiservani: r = \frac{24 3}{6} = 43 cm Apoteem on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, mille kaatetid on kõrgus ja see kaugus: m = 1 1^{2} + (43)^{2} = 121 + 48 = 169 = 13 cm Põhitahul on kolm võrdset serva, seega on selle ümbermõõt: P_{p} = 3 \cdot 24 = 72 cm Külgpindala leitakse põhitahu ümbermõõdu ja apoteemi kaudu: S_{k} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 13 = 468 cm^{2} Püramiidi apoteem on 13 cm ja külgpindala on 468 cm^{2} .

Levinud viga

Kõrguse jala ja põhiserva vaheliseks kauguseks võetakse ekslikult pool põhiservast, nagu ruudu korral. Korrapärases kolmnurgas ei ole keskpunkt serva keskpunkti kohal, vaid jagab kolmnurga kõrguse suhtes 2 : 1, seega on see kaugus \frac{a 3}{6} .

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta