7 / 11 · 12. klass

Ositi integreerimine

Lisateema

Riigieksamitel 2015-2025 ei ole seda kordagi küsitud. Ülejäänud teema mõistmiseks ei ole seda vaja.

\int u d v = uv - \int v d u

Valem kehtib, kui

u

v

on diferentseeruvad funktsioonid.

Mõte on selles, et algne integraal asendatakse uue, lihtsama integraaliga. Funktsiooniks

u

valitakse see osa, mis diferentseerimisel lihtsamaks muutub, ja funktsiooniks

d v

see osa, mida on lihtne integreerida.

Millal kasutada? Siis, kui integreeritav avaldis on kahe eri tüüpi funktsiooni korrutis, näiteks

x \cdot sin x

x \cdot e^{x}

või

ln x

Näide

Leia \int x \cdot e^{x} d x . Olgu u = x ja d v = e^{x} d x . Siis d u = d x ja v = e^{x} . \int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C

Levinud viga

Funktsioonid u ja d v valitakse valesti ning uus integraal tuleb algsest keerulisem. Polünoom ja ln x võetakse funktsiooniks u, eksponent- ja trigonomeetriline funktsioon aga funktsiooniks d v .

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.