6 / 11 · 12. klass

Muutuja vahetus integreerimisel

Lisateema

Riigieksamitel 2015-2025 ei ole seda kordagi küsitud. Ülejäänud teema mõistmiseks ei ole seda vaja.

\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C

Valem kehtib, kui

F

on funktsiooni

f

algfunktsioon ja sisemine funktsioon

g (x)

on diferentseeruv.

Keerulisema sisemise funktsiooni korral kasutatakse asendust

u = g (x)

, kusjuures

d u = g^{'} (x) d x

. Muutuja

u

kaudu kirjutatakse ümber kogu integreeritav avaldis koos diferentsiaaliga. Asendus on õnnestunud siis, kui pärast ümberkirjutamist ei ole avaldises enam ühtegi vana muutujat.

Millal kasutada? Siis, kui sisemine funktsioon ei ole lineaarne, kuid selle tuletis esineb integreeritavas avaldises tegurina: näiteks

\int x \cdot e^{x^{2}} d x

või

\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x

Näide

Leia \int x \cdot e^{x^{2}} d x . Asendus: u = x^{2}, d u = 2 x d x, seega x d x = \frac{d u}{2} . \int x \cdot e^{x^{2}} d x = \int e^{u} \cdot \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

Levinud viga

Diferentsiaal d x jäetakse asendamata. Kui u = x^{2}, siis d x tuleb avaldada d u kaudu.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta