2 / 2 · 12. klass

Vektori pikkus ja ühikvektor

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

a_{0} = \frac{1}{∣ a ∣} \cdot a

Valemid kehtivad, kui

a = (x, y, z)

on ruumivektor oma koordinaatidega ja

a_{0}

on sellega samasuunaline ühikvektor ehk vektor pikkusega

1

. Ühikvektori valem eeldab, et

a

ei ole nullvektor, sest muidu on

∣ a ∣ = 0

ja jagada tuleks nulliga; nullvektoril ei ole ka suunda, mida säilitada.

Ruumivektori pikkuse valem saadakse Pythagorase teoreemi kahekordsel rakendamisel: vektor on risttahuka ruumidiagonaal, mille servad on

x

y

z

. Kõigepealt leitakse põhja diagonaali ruut

x^{2} + y^{2}

ja seejärel liidetakse sellele kõrguse ruut

z^{2}

. Nii lisandub tasandi valemile lihtsalt kolmas liidetav ning

z = 0

korral saadakse tagasi tuttav tasandi valem. Ühikvektor leitakse lineaartehtena: vektor korrutatakse arvuga

\frac{1}{∣ a ∣}

, mis jätab suuna samaks, kuid muudab pikkuse üheks.

Millal kasutada? Pikkuse valemit kasutatakse lõigu

A B

pikkuse või punktide vahelise kauguse leidmiseks ruumis. Ühikvektorit kasutatakse siis, kui vaja on ainult suunda, mitte pikkust.

Näide

Antud on ruumivektor a = (2, - 3, 6) . Leia selle pikkus ja sellega samasuunaline ühikvektor. Pikkuse leidmiseks tõstetakse kõik kolm koordinaati ruutu, liidetakse ja võetakse summast ruutjuur: ∣ a ∣ = 2^{2} + (- 3)^{2} + 6^{2} = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 Ühikvektori saamiseks korrutatakse vektor arvuga \frac{1}{7} : a_{0} = \frac{1}{7} \cdot (2, - 3, 6) = (\frac{2}{7}, - \frac{3}{7}, \frac{6}{7}) Vektori pikkus on 7 ja samasuunaline ühikvektor on (\frac{2}{7}, - \frac{3}{7}, \frac{6}{7}) .

Levinud viga

Negatiivse koordinaadi ruutu tõstmisel jäetakse miinusmärk alles ja kirjutatakse (- 3)^{2} = - 9 . Iga koordinaadi ruut on mittenegatiivne, seega (- 3)^{2} = 9; vektori pikkus ei sõltu koordinaatide märkidest ega saa kunagi olla negatiivne.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.