1 / 4 · 12. klass

Nurk kahe sirge vahel

cos α = \frac{∣ s _{1} \cdot s _{2} ∣}{∣ s _{1} ∣ \cdot ∣ s _{2} ∣}

s_{1} \cdot s_{2} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

∣ s ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Valemid kehtivad, kui

s_{1}

s_{2}

on kahe sirge sihivektorid ruumis ning

α

on nende sirgete vaheline nurk, kusjuures

0^{\circ} \leq α \leq 9 0^{\circ}

Ruumis ei pruugi kaks sirget lõikuda ega olla paralleelsed — siis nimetatakse neid kiivsirgeteks. Ka kiivsirgete vaheline nurk on defineeritud: ruumis valitakse mistahes punkt ja tõmmatakse selle kaudu mõlema sirgega paralleelsed sirged; nende kahe lõikuva sirge vaheline nurk ongi kiivsirgete vaheline nurk. Punkti valik tulemust ei muuda. Arvutamiseks piisab sihivektoritest, sest paralleellükkel sihivektor ei muutu. Tasandil arvutati skalaarkorrutis kahe koordinaadi kaudu, ruumis lisandub kolmas liidetav ja vektori pikkuse juurde kolmas ruut – ülejäänud osas on nurga valem täpselt sama. Lugejas olev absoluutväärtus on siin oluline: sihivektori võib valida ka vastupidise suunaga, kuid sirgete vaheline nurk ei tohi ületada

9 0^{\circ}

Millal kasutada? Valemit kasutatakse siis, kui kahe sirge sihivektorid on ruumis koordinaatidega antud, ja see sobib nii lõikuvate kui ka kiivsirgete korral.

Näide

Sirge a sihivektor on s_{1} = (1, 1, 0) ja sellega kiivsirge b sihivektor on s_{2} = (0, 1, 1) . Leia sirgete a ja b vaheline nurk. Kõigepealt leitakse sihivektorite skalaarkorrutis kolme koordinaadi kaudu: s_{1} \cdot s_{2} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 Seejärel leitakse mõlema sihivektori pikkus: ∣ s_{1} ∣ = 1^{2} + 1^{2} + 0^{2} = 2 ∣ s_{2} ∣ = 0^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 2 Nüüd asendatakse leitud väärtused nurga valemisse: cos α = \frac{∣1∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} α = 6 0^{\circ} Sirgete a ja b vaheline nurk on 6 0^{\circ} .

Levinud viga

Lugejast jäetakse absoluutväärtus ära ja negatiivsest koosinusest saadakse vastuseks nürinurk, näiteks 12 0^{\circ} . Kahe sirge vaheline nurk ei ole kunagi suurem kui 9 0^{\circ}; nürinurga korral tuleb võtta selle kõrvunurk.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta