3 / 3 · 12. klass

Kõõlu pikkus kesknurga kaudu

c = 2 R sin \frac{α}{2}

Valem kehtib, kui

c

on kõõlu

A B

pikkus,

R

on ringjoone raadius ja

α

on sellele kõõlule toetuv kesknurk

A O B

Kolmnurk

A O B

on võrdhaarne, sest mõlemad haarad on raadiused. Keskpunktist kõõlule tõmmatud kõrgus poolitab nii kõõlu kui ka kesknurga, mistõttu tekib täisnurkne kolmnurk hüpotenuusiga

R

, teravnurgaga

\frac{α}{2}

ja selle vastaskaatetiga

\frac{c}{2}

. Siit

sin \frac{α}{2} = \frac{c}{2 R}

, millest avaldubki valem. Sama tulemuse annab siinusteoreem, sest kõõlule

c

toetuv piirdenurk on eelmise seose järgi

\frac{α}{2}

Millal kasutada? Valemit kasutatakse siis, kui teada on raadius ja kesknurk ning otsitakse kõõlu, või kui teada on kõõl ja raadius ning otsitakse kesknurka. Sellest seosest leitakse ka korrapärase hulknurga külje pikkus ümberringjoone raadiuse kaudu.

Näide

Ringjoone raadius on 8 cm ja kõõlule A B toetuv kesknurk on 6 0^{\circ} . Leia kõõlu A B pikkus. Siinuse argument on pool kesknurgast ehk 3 0^{\circ} ja kuna sin 3 0^{\circ} = 0, 5, saadakse: c = 2 \cdot 8 \cdot 0, 5 = 8 cm Kõõl A B on 8 cm ehk täpselt raadiuse pikkune; just seepärast võrdub korrapärase kuusnurga külg selle ümberringjoone raadiusega.

Levinud viga

Siinuse argumendiks kirjutatakse terve kesknurk ja arvutatakse c = 2 R sin α . Argument on alati pool kesknurgast: näites annaks see õige 8 cm asemel 2 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 13, 9 cm . Kontrolliks sobib hoopis see, et 6 0^{\circ} kesknurga korral on kolmnurk A O B võrdkülgne, mistõttu kõõl võrdub raadiusega ehk on täpselt 8 cm .

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta