1 / 2 · 12. klass

Kerasegment ja kerakiht

V_{s} = π h^{2} (R - \frac{h}{3})

V_{k} = \frac{π h}{6} (3 r_{1}^{2} + 3 r_{2}^{2} + h^{2})

Esimene valem kehtib kerasegmendi kohta, kus

R

on kera raadius ja

h

on segmendi kõrgus. Teine valem kehtib kerakihi kohta, kus

r_{1}

r_{2}

on kihti piiravate ristlõigete raadiused ning

h

on lõiketasandite vaheline kaugus.

Kerasegment on kera osa, mille lõikab kerast ära üks tasand: sellel on üks lame ringikujuline põhi ja üks kõverpind. Kerakiht on kera osa kahe paralleelse tasandi vahel: sellel on kaks lamedat ringikujulist põhja ja nende vahele jääv kõverpind. Segmendi kõrgus ei ole lõiketasandi kaugus keskpunktist: väiksema segmendi korral on

h = R - d

ja suurema segmendi korral

h = R + d

, kus

d

on see kaugus. Valem

V_{s} = π h^{2} (R - \frac{h}{3})

kehtib mõlemal juhul, kui

h

on võetud õige segmendi kohta. Kaks paralleelset tasandit jagavad kera kaheks segmendiks ja nende vahele jäävaks kihiks, seega annab kõigi kolme osa ruumalade summa kogu kera ruumala.

Millal kasutada? Segmendi valemit kasutatakse siis, kui kerast on ühe tasandiga osa ära lõigatud, näiteks kuppel või vedelik kerakujulises mahutis. Kihi valemit kasutatakse siis, kui keha on piiratud kahe paralleelse lõikega.

Näide

Kera raadius on R = 9 cm . Kaks paralleelset tasandit lõikavad kera nii, et kumbki asub keskpunktist 6 cm kaugusel, üks ühel ja teine teisel pool keskpunkti. Leia ühe segmendi ruumala ja nende vahele jääva kihi ruumala. Segmendi kõrgus on kera raadiuse ja lõiketasandi kauguse vahe: h = 9 - 6 = 3 cm Nüüd asendatakse arvud segmendi valemisse: V_{s} = π \cdot 3^{2} \cdot (9 - \frac{3}{3}) = 9 π \cdot 8 = 72 π cm^{3} Kera ristlõige tasandiga on ring, mille raadius leitakse Pythagorase teoreemist täisnurksest kolmnurgast küljega R ja kaatetiga d : r = R^{2} - d^{2} . Kihi mõlema põhja raadius tuleb sümmeetria tõttu ühesugune: r_{1} = r_{2} = 81 - 36 = 45 cm Kihi kõrgus on tasandite vaheline kaugus 6 + 6 = 12 cm, seega: V_{k} = \frac{12 π}{6} (3 \cdot 45 + 3 \cdot 45 + 144) = 2 π \cdot 414 = 828 π cm^{3} Segmendi ruumala on 72 π cm^{3} ja kihi ruumala on 828 π cm^{3} . Kontroll: 2 \cdot 72 π + 828 π = 972 π cm^{3}, mis on kogu kera ruumala.

Levinud viga

Segmendi kõrguse asemel asendatakse valemisse lõiketasandi kaugus keskpunktist. Näites on see kaugus 6 cm, kuid valemisse käib segmendi kõrgus h = R - d = 3 cm .

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta