Kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt

Valemid kehtivad, kui punktide koordinaadid on $A(x_1;y_1;z_1)$ ja $B(x_2;y_2;z_2)$, $d$ on nende punktide vaheline kaugus ning $K$ on lõigu $AB$ keskpunkt.

Kauguse valem tuleneb Pythagorase teoreemi kahekordsest rakendamisest. Kõigepealt leitakse punktide projektsioonide vaheline kaugus $xy$-tasandil, mis on $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Seejärel moodustavad see lõik ja kõrguste vahe $z_2-z_1$ täisnurkse kolmnurga kaatetid, mille hüpotenuus ongi otsitav kaugus $d$. Nii lisandub tasandi valemiga võrreldes ainult üks liidetav. Kui mõlemad punktid asuvad ühel kõrgusel, siis $z_2-z_1=0$ ja valem taandub tuttavaks tasandi valemiks. Vahede järjekord ei ole oluline, sest need tõstetakse ruutu. Keskpunkti iga koordinaat on otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine ja kolmas koordinaat leitakse täpselt samamoodi nagu kaks esimest.

Millal kasutada? Kauguse valemit kasutatakse siis, kui koordinaatidega antud punktide vahemaad või ruumis asuva lõigu pikkust on vaja arvutada. Keskpunkti valemit kasutatakse siis, kui otsitakse lõigu poolitava punkti koordinaate.