Komplanaarsus ja vektori avaldamine

Antud on $\vec{a}=(1,2,0)$, $\vec{b}=(0,1,3)$, $\vec{c}=(2,5,3)$ ja $\vec{e}=(1,0,0)$. a) Näita, et vektorid $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$ on komplanaarsed. b) Avalda vektor $\vec{d}=(4,4,6)$ mittekomplanaarsete vektorite $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{e}$ kaudu.Esimeses osas kirjutatakse summa $m\vec{a}+n\vec{b}$ koordinaatide kaupa välja:$$m\vec{a}+n\vec{b}=(m,2m+n,3n)$$See peab olema võrdne vektoriga $\vec{c}$, seega esimesest koordinaadist saadakse tegur $m$ ja kolmandast tegur $n$:$$m=2$$$$3n=3\Rightarrow n=1$$Leitud tegurid asendatakse kontrolliks teise koordinaadi avaldisse:$$2\cdot 2+1=5$$Teine koordinaat sobib, seega $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$ ja vektorid on komplanaarsed. Teises osas kirjutatakse samamoodi välja summa kolmest vektorist:$$x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{e}=(x+z,2x+y,3y)$$Kolmas koordinaat sisaldab ainult tegurit $y$, seepärast alustatakse sellest:$$3y=6\Rightarrow y=2$$Teisest koordinaadist leitakse $x$ ja esimesest $z$:$$2x+2=4\Rightarrow x=1$$$$1+z=4\Rightarrow z=3$$Vektorid $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$ on komplanaarsed, kusjuures $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$, ning $\vec{d}=\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{e}$.