1 / 2 · 12. klass

Kollineaarsed vektorid ruumis

b = k a

\frac{b _{1}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{a _{2}} = \frac{b _{3}}{a _{3}} = k

Esimene tingimus kehtib mistahes kahe kollineaarse vektori korral, teist kuju saab kasutada siis, kui vektori

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

ükski koordinaat ei ole null; arv

k

on võrdetegur.

Kaks vektorit on kollineaarsed, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel ehk kui nende sihid ühtivad. Ruumis on vektoril kolm koordinaati, seepärast peavad võrdelised olema kõik kolm vastavate koordinaatide paari: tasandil piisas kahe suhte võrdlemisest, ruumis tuleb kontrollida kolme. Kui

k > 0

, on vektorid samasuunalised, kui

k < 0

, siis vastassuunalised, ja

∣ k ∣

näitab, mitu korda on vektor

b

vektorist

a

pikem. Nullvektor loetakse kollineaarseks iga vektoriga.

Millal kasutada? Tingimust kasutatakse siis, kui tuleb otsustada, kas kaks ruumivektorit on paralleelsed, või leida puuduv koordinaat nii, et vektorid oleksid kollineaarsed.

Näide

Antud on a = (2, - 3, 4) ja b = (- 6, 9, - 12) . a) Kas need vektorid on kollineaarsed? b) Leia arvud m ja n nii, et vektor c = (m, 6, n) oleks vektoriga a kollineaarne. Kõigepealt võrreldakse vastavate koordinaatide suhteid: \frac{- 6}{2} = \frac{9}{- 3} = \frac{- 12}{4} = - 3 Kõik kolm suhet on võrdsed, seega b = - 3 a . Teises osas leitakse võrdetegur teise koordinaadi järgi, sest just see koordinaat on vektoril c teada: k = \frac{6}{- 3} = - 2 Ülejäänud koordinaadid saadakse vektori a koordinaatide korrutamisel sama teguriga: m = - 2 \cdot 2 = - 4 n = - 2 \cdot 4 = - 8 Vektorid a ja b on kollineaarsed ning vastassuunalised, otsitav vektor on c = (- 4, 6, - 8) .

Levinud viga

Kui mõni koordinaat on null, jäetakse see suhe lihtsalt vahele. Vektorite (2, 0, - 3) ja (- 4, 5, 6) korral annavad esimene ja kolmas suhe küll - 2, kuid vektorid ei ole kollineaarsed: nulliga jagada ei saa ning seosest b = k a järeldub, et kui vektori a mõni koordinaat on null, peab ka vektori b vastav koordinaat olema null. Vastupidine kehtib ainult siis, kui k \neq = 0, sest k = 0 korral on b nullvektor, mille kõik koordinaadid on nullid.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta