1 / 2 · 12. klass

Nurga koosinus skalaarkorrutise kaudu

cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}

Valemid kehtivad, kui

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

on ruumis koordinaatidega antud nullvektorist erinevad vektorid ning

α

on nendevaheline nurk.

Ruumis leitakse vektorite vaheline nurk täpselt sama seose järgi nagu tasandil: nurga koosinus on skalaarkorrutise ja pikkuste korrutise jagatis. Muutub ainult see, et igasse summasse lisandub kolmanda koordinaadi liige — skalaarkorrutises liidetakse kahe korrutise asemel kolm ja pikkuse ruutjuure all kahe ruudu asemel kolm. Lugejas on arv ja nimetajas on arv, seega on ka koosinus arv, mitte vektor. Kuna vektorite vaheline nurk on alati vahemikus

0^{\circ}

kuni

18 0^{\circ}

, võib see arv olla nii positiivne kui ka negatiivne: positiivne koosinus tähendab teravnurka, negatiivne nürinurka ja väärtus

0

tähendab, et vektorid on risti.

Millal kasutada? Valemeid kasutatakse siis, kui ruumis on kaks vektorit antud koordinaatidega ja tuleb leida nendevahelise nurga koosinus või kontrollida, kas vektorid on risti.

Näide

Antud on a = (2, 1, 2) ja b = (1, 2, 2) . Leia nende vektorite vahelise nurga koosinus. Kõigepealt leitakse skalaarkorrutis, liites kõigi kolme koordinaadipaari korrutised: a \cdot b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 2 + 2 + 4 = 8 Seejärel leitakse mõlema vektori pikkus: ∣ a ∣ = 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 9 = 3 ∣ b ∣ = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9 = 3 Nüüd asendatakse leitud väärtused koosinuse valemisse: cos α = \frac{8}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} Vektorite vahelise nurga koosinus on \frac{8}{9} .

Levinud viga

Tasandi harjumusest jäetakse kolmas koordinaat ära ja arvutatakse a \cdot b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4 ning ∣ a ∣ = 2^{2} + 1^{2} . Ruumis kuulub kolmas koordinaat nii skalaarkorrutisse kui ka mõlemasse pikkusesse, seega peab igas summas olema kolm liidetavat.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.

Alusta tasuta