3 / 3 · 12. klass
Vastuväiteline tõestus
Skeem kehtib siis, kui väidet ennast on raske otse põhjendada: vastuväide on tõestatava väite eitus ning vastuolu tähendab järeldust, mis räägib vastu antud tingimusele, definitsioonile või mõnele teoreemile.
Väide kas kehtib või ei kehti, kolmandat võimalust ei ole. Seepärast piisab, kui näidata, et eitusest järeldub midagi võimatut: siis on eitus väär ja järele jääb ainult väide ise. Tõestus algab lausega, mis sõnastab vastuväite, ja lõpeb lausega, mis nimetab, millega saadud tulemus vastuollu läks.
Millal kasutada? Võtet kasutatakse siis, kui väide ütleb, et midagi ei saa olla või et selliseid kujundeid on ainult üks. Otsene kontroll ei ole sel juhul võimalik, sest läbi tuleks vaadata lõpmatu hulk juhte, vastuväide on aga ainult üks.
Näide
Tõesta, et kolmnurgal ei saa olla kahte täisnurka.Antud on kolmnurk ; tõestada tuleb, et kaht täisnurka sellel olla ei saa. Vastuväide: oletame, et nurgad tippude ja juures on mõlemad täisnurgad:Kolmnurga sisenurkade summa teoreemi järgi leitakse kolmas nurk:Kolmnurga sisenurk on alati suurem kui , sest vastasel korral asuksid kõik kolm tippu ühel sirgel ja kolmnurka ei tekiks. Seega on jõutud vastuoluni ning vastuväide on väär.Kolmnurgal ei saa olla kahte täisnurka, mis oligi tõestatav.
Levinud viga
Vastuväide sõnastatakse liiga tugevana: kahe täisnurga asemel oletatakse, et kõik kolmnurga nurgad on täisnurgad. Eitus peab ütlema täpselt vastupidist tõestatavale väitele ja ülejäänud osa kohta ei tohi midagi juurde eeldada.
Harjuta seda teemat
Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.