2 / 2 · 12. klass

Koosinusteoreem

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Valemid kehtivad, kui

a

b

c

on mistahes kolmnurga küljed ning

γ

on külje

c

vastasnurk.

Koosinusteoreem seob kolmnurga kolm külge ja ühe nurga. Esimesest valemist leitakse puuduv külg ja teisest puuduv nurk.

Millal kasutada? Teoreemi kasutatakse siis, kui teada on kaks külge ja nendevaheline nurk või kui teada on kõik kolm külge ja otsitakse nurka.

Näide

Kolmnurga küljed on a = 3 cm, b = 5 cm ja c = 7 cm . Leia külje c vastasnurk γ . Teada on kõik kolm külge, seega avaldatakse koosinusteoreemist otsitava nurga koosinus: cos γ = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{- 15}{30} = - 0, 5 γ = arccos (- 0, 5) = 12 0^{\circ} Kolmnurga nurk rahuldab tingimust 0^{\circ} < γ < 18 0^{\circ}, seega on lahend üheselt määratud. Külje c vastasnurk on 12 0^{\circ} . Koosinus on negatiivne, seega on nurk γ nürinurk.

Levinud viga

Valemis kasutatakse nurka, mis ei ole külje c vastasnurk. Nurk γ peab alati asuma just selle külje vastas, mis on valemis üksi teisel pool võrdusmärki.

Harjuta seda teemat

Ülesanded koos samm-sammuliste lahendustega.